树与二叉树

数组与链表是用来解决一对一的问题,而一对多的问题则需要树来解决。

树的定义

树是N的节点的有限集。N=0时称为空树,在一个非空树中:

  • 有且只有一个根()节点。
  • 当n>1 时,其余结点可分为m (m>0) 个互不相交的有限集T1 、T2、……、Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树(SubTree)。

下图就是一个树:
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节点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(Degree) 。度为0的结点称为叶结点(Leaf) 或终端结点;度不为0 的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外,分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

如下图所示,A结点为根节点,G、H、I、J、F为叶节点,其余节点则为内部节点,此树的度为3。
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节点间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子(Child),相应地,该结点称为孩子的双亲(Parent)。同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。反之,以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

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深度

结点的层次(LeveI)从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层。若某结点在第L层,则其子树的根就在第L+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度 。
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有序树与无序树

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的,不能互换的,则称该树为有序树,否则称为无序树。

二叉树

二叉树是n(n ≥ 0) 个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
下图就是一个二叉树,二叉树就是每个节点的度≤2的树。
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二叉树遍历

二叉树遍历是指从根节点出发,按照某种顺序依次访问二叉树的所有节点,使得每个节点被访问一次且只能被访问一次。二叉树遍历分为前序遍历,中序遍历以及后续遍历。

前序遍历

规则是若二叉树为空,则空操作返回,否则先访问根结点,然后前序遍历左子树, 再前序遍历右子树。

如下图所示,遍历结果为:ABDGHCEIF。
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中序遍历

规则是若树为空,则空操作返回,否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点) ,中序遍历根结点的左子树,然后是访问根结点,最后中序遍历右子树。

如下图所示,遍历结果为:GDHBAEICF。
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后序遍历

规则是若树为空,则空操作返回,否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树,最后是访问根结点。

如下图所示,遍历结果为:GHDBIEFCA。
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